变分自编码器 VAE

Variational Auto-Encoder

Posted by 苏剑林 on November 20, 2018

转载自《变分自编码器(一):原来是这么一回事》,作者:苏剑林

通常我们会拿 VAE 跟 GAN 比较,的确,它们两个的目标基本是一致的——希望构建一个从隐变量 $Z$ 生成目标数据 $X$ 的模型,但是实现上有所不同。更准确地讲,它们是假设了 $Z$ 服从某些常见的分布(比如正态分布或均匀分布),然后希望训练一个模型 $X=g(Z)$,这个模型能够将原来的概率分布映射到训练集的概率分布,也就是说,它们的目的都是进行分布之间的变换。

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生成模型的难题就是判断生成分布与真实分布的相似度,因为我们只知道两者的采样结果,不知道它们的分布表达式

那现在假设 $Z$ 服从标准的正态分布,那么我就可以从中采样得到若干个 $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$,然后对它做变换得到 $\hat{X}_1 = g(Z_1),\hat{X}_2 = g(Z_2),\dots,\hat{X}_n = g(Z_n)$,我们怎么判断这个通过 $g$ 构造出来的数据集,它的分布跟我们目标的数据集分布是不是一样的呢?有读者说不是有 KL 散度吗?当然不行,因为 KL 散度是根据两个概率分布的表达式来算它们的相似度的,然而目前我们并不知道它们的概率分布的表达式,我们只有一批从构造的分布采样而来的数据 ${\hat{X}_1,\hat{X}_2,\dots,\hat{X}_n}$,还有一批从真实的分布采样而来的数据 ${X_1,X_2,\dots,X_n}$(也就是我们希望生成的训练集)。我们只有样本本身,没有分布表达式,当然也就没有方法算 KL 散度。

虽然遇到困难,但还是要想办法解决的。GAN 的思路很直接粗犷:既然没有合适的度量,那我干脆把这个度量也用神经网络训练出来吧。就这样,WGAN 就诞生了,详细过程请参考《互怼的艺术:从零直达WGAN-GP》。而 VAE 则使用了一个精致迂回的技巧。

VAE 漫谈

这一部分我们先回顾一般教程是怎么介绍 VAE 的,然后再探究有什么问题,接着就自然地发现了 VAE 真正的面目。

经典回顾

首先我们有一批数据样本 ${X_1,\dots,X_n}$,其整体用 $X$ 来描述,我们本想根据 ${X_1,\dots,X_n}$ 得到 $X$ 的分布 $p(X)$,如果能得到的话,那我直接根据 $p(X)$ 来采样,就可以得到所有可能的 $X$ 了(包括 ${X_1,\dots,X_n}$ 以外的),这是一个终极理想的生成模型了。当然,这个理想很难实现,于是我们将分布改一改

这里我们就不区分求和还是求积分了,意思对了就行。此时 $p(X\mid Z)$ 就描述了一个由 $Z$ 来生成 $X$ 的模型,而我们假设 $Z$ 服从标准正态分布,也就是 $p(Z)=\mathcal{N}(0,I)$。如果这个理想能实现,那么我们就可以先从标准正态分布中采样一个 $Z$,然后根据 $Z$ 来算一个 $X$,也是一个很棒的生成模型。接下来就是结合自编码器来实现重构,保证有效信息没有丢失,再加上一系列的推导,最后把模型实现。框架的示意图如下:

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VAE 的传统理解

看出了什么问题了吗?如果像这个图的话,我们其实完全不清楚:究竟经过重新采样出来的 $Z_k$,是不是还对应着原来的 $X_k$,所以我们如果直接最小化 $\mathcal{D}(\hat{X}_k,X_k)^2$(这里 $\mathcal{D}$ 代表某种距离函数)是很不科学的,而事实上你看代码也会发现根本不是这样实现的。也就是说,很多教程说了一大通头头是道的话,然后写代码时却不是按照所写的文字来写,可是他们也不觉得这样会有矛盾~

VAE 初现

其实,在整个 VAE 模型中,我们并没有去使用 $p(Z)$(隐变量空间的分布)是正态分布的假设,我们用的是假设 $p(Z\mid X)$(后验分布)是正态分布!!

具体来说,给定一个真实样本 $X_k$,我们假设存在一个专属于 $X_k$ 的分布 $p(Z\mid X_k)$(学名叫后验分布),并进一步假设这个分布是(独立的、多元的)正态分布。为什么要强调“专属”呢?因为我们后面要训练一个生成器 $X=g(Z)$,希望能够把从分布 $p(Z\mid X_k)$ 采样出来的一个 $Z_k$ 还原为 $X_k$。如果假设 $p(Z)$ 是正态分布,然后从 $p(Z)$ 中采样一个 $Z$,那么我们怎么知道这个 $Z$ 对应于哪个真实的 $X$ 呢?现在 $p(Z\mid X_k)$ 专属于 $X_k$,我们有理由说从这个分布采样出来的 $Z$ 应该要还原到 $X_k$ 中去。

事实上,在论文《Auto-Encoding Variational Bayes》的应用部分,也特别强调了这一点:

In this case, we can let the variational approximate posterior be a multivariate Gaussian with a diagonal covariance structure:

(注:这里是直接摘录原论文,本文所用的符号跟原论文不尽一致,望读者不会混淆。)

论文中的式 $(9)$ 是实现整个模型的关键,不知道为什么很多教程在介绍 VAE 时都没有把它凸显出来。尽管论文也提到 $p(Z)$ 是标准正态分布,然而那其实并不是本质重要的。

回到本文,这时候每一个 $X_k$ 都配上了一个专属的正态分布,才方便后面的生成器做还原。但这样有多少个 $X$ 就有多少个正态分布了。我们知道正态分布有两组参数:均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$(多元的话,它们都是向量),那我怎么找出专属于 $X_k$ 的正态分布 $p(Z\mid X_k)$ 的均值和方差呢?好像并没有什么直接的思路。那好吧,那我就用神经网络来拟合出来吧!这就是神经网络时代的哲学:难算的我们都用神经网络来拟合,在 WGAN 那里我们已经体验过一次了,现在再次体验到了。

于是我们构建两个神经网络 $\mu_k = f_1(X_k),\log \sigma^2 = f_2(X_k)$ 来算它们了。我们选择拟合 $\log \sigma^2$ 而不是直接拟合 $\sigma^2$,是因为 $\sigma^2$ 总是非负的,需要加激活函数处理,而拟合 $\log \sigma^2$ 不需要加激活函数,因为它可正可负。到这里,我能知道专属于 $X_k$ 的均值和方差了,也就知道它的正态分布长什么样了,然后从这个专属分布中采样一个 $Z_k$ 出来,然后经过一个生成器得到 $\hat{X}_k=g(Z_k)$,现在我们可以放心地最小化 $\mathcal{D}(\hat{X}_k,X_k)^2$,因为 $Z_k$ 是从专属 $X_k$ 的分布中采样出来的,这个生成器应该要把开始的 $X_k$ 还原回来。于是可以画出 VAE 的示意图

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事实上,VAE 是为每个样本构造专属的正态分布,然后采样来重构

分布标准化

让我们来思考一下,根据上图的训练过程,最终会得到什么结果。

首先,我们希望重构 $X$,也就是最小化 $\mathcal{D}(\hat{X}_k,X_k)^2$,但是这个重构过程受到噪声的影响,因为 $Z_k$ 是通过重新采样过的,不是直接由 encoder 算出来的。显然噪声会增加重构的难度,不过好在这个噪声强度(也就是方差)通过一个神经网络算出来的,所以最终模型为了重构得更好,肯定会想尽办法让方差为 0。而方差为 0 的话,也就没有随机性了,所以不管怎么采样其实都只是得到确定的结果(也就是均值),只拟合一个当然比拟合多个要容易,而均值是通过另外一个神经网络算出来的。

说白了,模型会慢慢退化成普通的 AutoEncoder,噪声不再起作用。

这样不就白费力气了吗?说好的生成模型呢?

别急别急,其实 VAE 还让所有的 $p(Z\mid X)$ 都向标准正态分布看齐,这样就防止了噪声为零,同时保证了模型具有生成能力。怎么理解“保证了生成能力”呢?如果所有的 $p(Z\mid X)$ 都很接近标准正态分布 $\mathcal{N}(0,I)$,那么根据定义

这样我们就能达到我们的先验假设:$p(Z)$ 是标准正态分布。然后我们就可以放心地从 $\mathcal{N}(0,I)$ 中采样来生成图像了。

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为了使模型具有生成能力,VAE 要求每个 p(Z_X) 都向正态分布看齐

那怎么让所有的 $p(Z\mid X)$ 都向 $\mathcal{N}(0,I)$ 看齐呢?如果没有外部知识的话,其实最直接的方法应该是在重构误差的基础上加入额外的 loss:

因为它们分别代表了均值 $\mu_k$ 和方差的对数 $\log\sigma^2$,达到 $\mathcal{N}(0,I)$ 就是希望二者尽量接近于 0 了。不过,这又会面临着这两个损失的比例要怎么选取的问题,选取得不好,生成的图像会比较模糊。所以,原论文直接算了一般(各分量独立的)正态分布与标准正态分布的 KL 散度 $KL\Big(N(\mu,\sigma^2)\Big\Vert N(0,I)\Big)$ 作为这个额外的 loss,计算结果为

这里的 $d$ 是隐变量 $Z$ 的维度,而 $\mu_{(i)}$ 和 $\sigma_{(i)}^2$ 分别代表一般正态分布的均值向量和方差向量的第 $i$ 个分量。直接用这个式子做补充 loss,就不用考虑均值损失和方差损失的相对比例问题了。显然,这个 loss 也可以分两部分理解:

推导

由于我们考虑的是各分量独立的多元正态分布,因此只需要推导一元正态分布的情形即可,根据定义我们可以写出

整个结果分为三项积分,第一项实际上就是 $-\log \sigma^2$ 乘以概率密度的积分(也就是1),所以结果是 $-\log \sigma^2$;第二项实际是正态分布的二阶矩,熟悉正态分布的朋友应该都清楚正态分布的二阶矩为 $\mu^2+\sigma^2$;而根据定义,第三项实际上就是“-方差除以方差=-1”。所以总结果就是

重参数技巧

最后是实现模型的一个技巧,英文名是 reparameterization trick,我这里叫它做重参数吧。其实很简单,就是我们要从 $p(Z\mid X_k)$ 中采样一个 $Z_k$ 出来,尽管我们知道了 $p(Z\mid X_k)$ 是正态分布,但是均值方差都是靠模型算出来的,我们要靠这个过程反过来优化均值方差的模型,但是“采样”这个操作是不可导的,而采样的结果是可导的。我们利用

这说明 $(z-\mu)/\sigma=\varepsilon$ 是服从均值为 0、方差为 1 的标准正态分布的,要同时把 $dz$ 考虑进去,是因为乘上 $dz$ 才算是概率,去掉 $dz$ 是概率密度而不是概率。这时候我们得到:

从 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 中采样一个 $Z$,相当于从 $\mathcal{N}(0,I)$ 中采样一个 $\varepsilon$,然后让 $Z=\mu + \varepsilon \times \sigma$。

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重参数技巧

于是,我们将从 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 采样变成了从 $\mathcal{N}(0,I)$ 中采样,然后通过参数变换得到从 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 中采样的结果。这样一来,“采样”这个操作就不用参与梯度下降了,改为采样的结果参与,使得整个模型可训练了。

具体怎么实现,大家把上述文字对照着代码看一下,一下子就明白了~

后续分析

即便把上面的所有内容都搞清楚了,面对 VAE,我们可能还存有很多疑问。

本质是什么

VAE 的本质是什么?VAE 虽然也称是 AE(AutoEncoder)的一种,但它的做法(或者说它对网络的诠释)是别具一格的。在 VAE 中,它的 Encoder 有两个,一个用来计算均值,一个用来计算方差,这已经让人意外了:Encoder 不是用来 Encode 的,是用来算均值和方差的,这真是大新闻了,还有均值和方差不都是统计量吗,怎么是用神经网络来算的?

事实上,我觉得 VAE 从让普通人望而生畏的变分和贝叶斯理论出发,最后落地到一个具体的模型中,虽然走了比较长的一段路,但最终的模型其实是很接地气的:它本质上就是在我们常规的自编码器的基础上,对 encoder 的结果(在 VAE 中对应着计算均值的网络)加上了“高斯噪声”,使得结果 decoder 能够对噪声有鲁棒性;而那个额外的 KL loss(目的是让均值为0,方差为1),事实上就是相当于对 encoder 的一个正则项,希望 encoder 出来的东西均有零均值。

那另外一个 encoder(对应着计算方差的网络)的作用呢?它是用来动态调节噪声的强度的。直觉上来想,当 decoder 还没有训练好时(重构误差远大于 KL loss),就会适当降低噪声(KL loss 增加),使得拟合起来容易一些(重构误差开始下降);反之,如果 decoder 训练得还不错时(重构误差小于 KL loss),这时候噪声就会增加(KL loss 减少),使得拟合更加困难了(重构误差又开始增加),这时候 decoder 就要想办法提高它的生成能力了。

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VAE 的本质结构

说白了,重构的过程是希望没噪声的,而 KL loss 则希望有高斯噪声的,两者是对立的。所以,VAE 跟 GAN一样,内部其实是包含了一个对抗的过程,只不过它们两者是混合起来,共同进化的。从这个角度看,VAE 的思想似乎还高明一些,因为在 GAN 中,造假者在进化时,鉴别者是安然不动的,反之亦然。当然,这只是一个侧面,不能说明 VAE 就比 GAN 好。GAN 真正高明的地方是:它连度量都直接训练出来了,而且这个度量往往比我们人工想的要好(然而 GAN 本身也有各种问题,这就不展开了)。

正态分布?

对于 $p(Z\mid X)$ 的分布,读者可能会有疑惑:是不是必须选择正态分布?可以选择均匀分布吗?

估计不大可行,这还是因为 KL 散度的计算公式:

要是在某个区域中 $p(x)\neq 0$ 而 $q(x)=0$ 的话,那么 KL 散度就无穷大了。对于正态分布来说,所有点的概率密度都是非负的,因此不存在这个问题。但对于均匀分布来说,只要两个分布不一致,那么就必然存在 $p(x)\neq 0$ 而 $q(x)=0$ 的区间,因此 KL 散度会无穷大。当然,写代码时我们会防止这种除零错误,但依然避免不了 KL loss 占比很大,因此模型会迅速降低 KL loss,也就是后验分布 $p(Z\mid X)$ 迅速趋于先验分布 $p(Z)$,而噪声和重构无法起到对抗作用。这又回到我们开始说的,无法区分哪个 $z$ 对应哪个 $x$ 了。

当然,非得要用均匀分布也不是不可能,就是算好两个均匀分布的 KL 散度,然后做好初零错误处理,加大重构 loss 的权重,等等~但这样就显得太丑陋了。

变分在哪里

还有一个有意思(但不大重要)的问题是:VAE 叫做“变分自编码器”,它跟变分法有什么联系?在 VAE 的论文和相关解读中,好像也没看到变分法的存在呀?

呃~其实如果读者已经承认了 KL 散度的话,那 VAE 好像真的跟变分没多大关系了~因为理论上对于 KL 散度 $(7)$ 我们要证明:已知概率分布 $p(x)$(或固定 $q(x)$)的情况下,对于任意的概率分布 $q(x)$(或 $p(x)$),都有 $KL\Big(p(x)\Big\Vert q(x)\Big)\geq 0$,而且只有当 $p(x)=q(x)$ 时才等于零。因为 $KL\Big(p(x)\Big\Vert q(x)\Big)$ 实际上是一个泛函,要对泛函求极值就要用到变分法,当然,这里的变分法只是普通微积分的平行推广,还没涉及到真正复杂的变分法。而 VAE 的变分下界,是直接基于 KL 散度就得到的。所以直接承认了 KL 散度的话,就没有变分的什么事了。

一句话,VAE 的名字中“变分”,是因为它的推导过程用到了 KL 散度及其性质。

条件 VAE

最后,因为目前的 VAE 是无监督训练的,因此很自然想到:如果有标签数据,那么能不能把标签信息加进去辅助生成样本呢?这个问题的意图,往往是希望能够实现控制某个变量来实现生成某一类图像。当然,这是肯定可以的,我们把这种情况叫做 Conditional VAE,或者叫 CVAE。(相应地,在 GAN中我们也有个 CGAN。)

但是,CVAE 不是一个特定的模型,而是一类模型,总之就是把标签信息融入到 VAE 中的方式有很多,目的也不一样。这里基于前面的讨论,给出一种非常简单的 VAE。

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一个简单的 CVAE 结构

在前面的讨论中,我们希望 $X$ 经过编码后,$Z$ 的分布都具有零均值和单位方差,这个“希望”是通过加入了 KL loss来实现的。如果现在多了类别信息 $Y$,我们可以希望同一个类的样本都有一个专属的均值 $\mu^Y$(方差不变,还是单位方差),这个 $\mu^Y$ 让模型自己训练出来。这样的话,有多少个类就有多少个正态分布,而在生成的时候,我们就可以通过控制均值来控制生成图像的类别。事实上,这样可能也是在 VAE 的基础上加入最少的代码来实现 CVAE 的方案了,因为这个“新希望”也只需通过修改 KL loss 实现:

下图显示这个简单的 CVAE 是有一定的效果的,不过因为 encoder 和 decoder 都比较简单(纯 MLP),所以控制生成的效果不尽完美。更完备的 CVAE 请读者自行学习了,最近还出来了 CVAE 与 GAN 结合的工作 CVAE-GAN,模型套路千变万化啊。

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用这个 CVAE 控制生成数字 9,可以发现生成了多种样式的 9,并且慢慢向 7 过渡,所以初步观察这种 CVAE 是有效的

代码

我把Keras官方的VAE代码复制了一份,然后微调并根据前文内容添加了中文注释,也把最后说到的简单的 CVAE 实现了一下,供读者参考~

代码:https://github.com/bojone/vae

转载自《变分自编码器(一):原来是这么一回事》,作者:苏剑林